| Оглавление | Оглавление | |
| Предисловие | 7 |
| Глава I. Случайные события | 9 |
| § 1. Классическая схема теории вероятностей | 9 |
| Основные соглашения | 9 |
| Простейшие задачи | 10 |
| Перестановки в классической схеме теории вероятностей | 13 |
| Размещения в классической схеме теории вероятностей | 16 |
| Сочетания в классической схеме теории вероятностей | 19 |
| Примеры из статистической физики | 26 |
| Симметрия в классической схеме теории вероятностей | 27 |
| Условная вероятность в классической схеме теории вероятностей | 28 |
| Геометрические вероятности | 30 |
| Разные задачи | 32 |
| § 2. Аксиоматика теории вероятностей | 36 |
| Множества и операции над ними | 36 |
| Алгебра случайных событий | 37 |
| Вероятность случайного события | 39 |
| Вероятностное пространство | 39 |
| Дискретное вероятностное пространство | 40 |
| Основные свойства вероятности | 42 |
| § 3. Формулы сложения и умножения вероятностей | 45 |
| Формула сложения вероятностей | 45 |
| Оценка снизу для вероятности произведения событий | 50 |
| Формула умножения вероятностей | 52 |
| Независимые события | 55 |
| Примеры совместного использования формул сложения и умножения вероятностей | 61 |
| Расчет надежности простейших схем | 67 |
| Разные задачи | 70 |
| § 4. Формула полной вероятности; формула Байеса | 75 |
| Простейшие задачи | 75 |
| Примеры специального выбора гипотез | 85 |
| Разные задачи | 87 |
| § 5. Схема Бернулли; полиномиальная схема | 90 |
| Формула Бернулли | 90 |
| Число испытаний до к-го успеха | 98 |
| Полиномиальная формула | 99 |
| Разные задачи | 102 |
| Глава II. Случайные величины | 104 |
| § 6 Дискретные случайные величины | 104 |
| Случайная величина и ее функция распределения | 104 |
| Общие понятия, связанные с дискретными случайными величинами | 107 |
| Равномерное распределение на конечном множестве | 115 |
| Распределение Бернулли | 117 |
| Вг (п, р) — биномиальное распределение с параметрами пир | 121 |
| G (p) — геометрическое распределение с параметром р | 124 |
| Энтропия дискретного распределения | 128 |
| Разные задачи | 131 |
| § 7. Предельные теоремы в схеме Бернулли | 137 |
| Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения | 137 |
| Пуассоновский поток событий | 140 |
| Нормальная аппроксимация биномиального распределения | 145 |
| Разные задачи | 152 |
| § 8. Непрерывные случайные величины | 154 |
| Общие теоретические положения | 154 |
| R (a, b) — равномерное распределение в интервале (а, 6) | 158 |
| Е (\) — экспоненциальное (показательное) распределение с параметром | 165 |
| N (n, Q2) — нормальное (гауссовское) распределение с параметрами | 168 |
| Функциональные преобразования непрерывных случайных величин | 176 |
| Логарифмически нормальное распределение | 177 |
| Распределение Коши | 179 |
| Энтропия абсолютно непрерывного распределения вероятностей | 180 |
| Разные задачи | 183 |
| § 9. Сметанные задачи на случайные величины | 187 |
| Определение математического ожидания | 187 |
| Неравенства Чебышева | 189 |
| Еще несколько важных неравенств | 192 |
| Геометрическая интерпретация математического ожидания | 194 |
| Несколько примеров из теории надежности | 197 |
| Примеры исследования разрывных распределений | 201 |
| Асимметрия и эксцесс распределения вероятностей | 205 |
| Моделирование случайных величин | 207 |
| Разные задачи | 209 |
| Глава III. Многомерные распределения вероятностей | 213 |
| § 10. Дискретные двумерные распределения вероятностей | 213 |
| Общие понятия, связанные с двумерными случайными векторами | 213 |
| Дискретные распределения вероятностей в R2 | 218 |
| Формула полного математического ожидания | 227 |
| Энтропия и информация | 231 |
| Разные задачи | 233 |
| § 11. Непрерывные двумерные распределения вероятностей | 236 |
| Общие понятия, связанные с двумерным абсолютно непрерывным распределением вероятностей | 236 |
| Примеры исследования двумерных непрерывных распределений вероятностей | 240 |
| Вероятность попадания случайной точки в заданную область | 244 |
| Функциональные преобразования случайных векторов | 247 |
| Суммирование независимых случайных величин | 253 |
| Мультипликативное свойство математического ожидания | 256 |
| Энтропия и информация | 258 |
| Разные задачи | 259 |
| § 12. Распределения вероятностей в R" | 264 |
| Общие понятия | 264 |
| Абсолютно непрерывное распределение вероятностей в R" | 271 |
| Мультипликативное свойство математического ожидания | 276 |
| Вариационный ряд | 278 |
| Линейное преобразование случайного вектора к вектору с попарно некоррелированными составляющими | 280 |
| Разные задачи | 285 |
| § 13. Характеристические функции | 288 |
| Определение и простейшие свойства | 288 |
| Дифференцирование характеристических функций | 295 |
| Метод характеристических функций | 297 |
| Конструирование характеристических функций | 303 |
| Некоторые специальные свойства характеристических функций | 308 |
| Характеристические функции случайных векторов | 310 |
| Разные задачи | 311 |
| § 14. Многомерное нормальное распределение вероятностей | 315 |
| Определение и простейшие свойства нормального распределения вероятностей в Rn | 315 |
| Двумерное нормальное распределение вероятностей | 325 |
| Количество информации об одной случайной величине, содержащейся в другой случайной величине | 334 |
| Теорема о нормальной корреляции в R2 | 336 |
| Теорема о нормальной корреляции в К71 | 338 |
| Линейное преобразование нормально распределенного случайного вектора к вектору с независимыми составляющими | 339 |
| Линейное преобразование одного многомерного нормального распределения вероятностей в другое | 344 |
| Моделирование многомерного нормального распределения вероятностей | 346 |
| Линейные и квадратичные формы от нормальных случайных величин | 348 |
| Вырожденное нормальное распределение вероятностей | 354 |
| Разные задачи | 356 |
| Глава IV. Предельные теоремы теории вероятностей | 363 |
| § 15. Виды вероятностной сходимости | 363 |
| Сходимость по вероятности и сходимость почти наверное (с вероятностью 1) | 363 |
| Сходимость в среднем | 375 |
| Сходимость по распределению (слабая сходимость) | 378 |
| Асимптотически нормальные случайные величины | 390 |
| Переход к пределу под знаком математического ожидания | 393 |
| Разные задачи | 399 |
| § 16. Основные предельные теоремы | 402 |
| Закон больших чисел | 402 |
| Метод урезания | 406 |
| Усиленный закон больших чисел | 409 |
| Центральная предельная теорема | 411 |
| Вычисление интегралов методом статистических испытаний (методом Монте-Карло) | 417 |
| Задачи из классического анализа | 419 |
| Разные задачи | 420 |
| Приложение | 423 |
| Элементы комбинаторики | 423 |
| Таблицы | 437 |
| 1 Таблица распределения Пуассона | 437 |
| 2 Таблица значений функции ф (х) | 438 |
| 3 Таблица значений функции Лапласа | 439 |
| 4 Псевдослучайные числа с равномерным распределением в интервале (0, 1) | 440 |
| 5 Псевдослучайные числа со стандартным нормальным распределением | 441 |
| Ответы и указания | 442 |
| Предметный указатель | 471 |
| Литература | 478 |
