| Оглавление | Оглавление | |
| Предисловие | 3 |
| Введение | 5 |
| Глава I. Случайные события | 7 |
| § 1. Элементы комбинаторики | 7 |
| 1 Примеры комбинаторных задач | 7 |
| 2 Сочетания, размещения, перестановки | 8 |
| 3 Два основных принципа комбинаторики | 11 |
| 4 Основные комбинаторные формулы | 13 |
| 5 Бином Ньютона | 18 |
| б Простейшие свойства биномиальных коэффициентов | 20 |
| § 2. Классическая схема теории вероятностей | 23 |
| 1 Примеры случайных событий | 23 |
| 2 Классическое определение вероятности | 24 |
| 3 Простейшие задачи | 25 |
| 4 Перестановки в классической схеме теории вероятностей | 27 |
| 5 Размещения в классической схеме теории вероятностей | 29 |
| 6 Сочетания в классической схеме теории вероятностей | 30 |
| 7 Противоположное событие и его вероятность | 33 |
| 8 Операции над случайными событиями | 35 |
| 9 Формула сложения вероятностей | 37 |
| 10 Условные вероятности в классической схеме | 38 |
| 11 Геометрические вероятности | 40 |
| 12 Статистический подход к определению вероятности | 42 |
| 13 Несколько задач | 42 |
| § 3. Аксиоматика теории вероятностей | 44 |
| Введение | 44 |
| 1 Множества и операции над ними | 44 |
| 2 Алгебра случайных событий | 46 |
| 3 Вероятность случайного события | 47 |
| 4 Вероятностное пространство | 48 |
| 5 Дискретное вероятностное пространство | 49 |
| 6 Геометрические вероятности в аксиоматике теории вероятностей | 50 |
| 7 Несколько элементарных свойств вероятности | 50 |
| § 4. Формулы сложения и умножения вероятностей | 53 |
| 1 Вероятность суммы случайных событий | 53 |
| 2 Условные вероятности | 56 |
| 3 Формула умножения вероятностей | 57 |
| 4 Независимые случайные события | 59 |
| 5 Примеры совместного использования формулы сложения и формулы умножения вероятностей | 64 |
| 6 Примеры расчета надежности электрических цепей | 69 |
| § 5. Формула полной вероятности; формула Байеса | 73 |
| 1 Формула полной вероятности | 73 |
| 2 Формула Байеса | 74 |
| 3 Несколько замечаний | 77 |
| 4 Примеры специального выбора гипотез | 80 |
| 5 Разные задачи | 82 |
| § 6. Схема Бернулли | 84 |
| 1 Основные соглашения | 84 |
| 2 Формула Бернулли | 84 |
| 3 Наиболее вероятное число успехов | 89 |
| 4 Число испытаний до к-го успеха | 92 |
| 5 Полиномиальная формула | 93 |
| 6 Задачи на повторение | 95 |
| Глава II. Дискретные случайные величины | 96 |
| § 7. Случайная величина и ее функция распределения | 96 |
| 1 Интуитивные соображения | 96 |
| 2 Формальное определение случайной величины | 98 |
| 3 Основные свойства функции распределения | 99 |
| § 8. Случайные величины с конечным множеством возможных значений | 103 |
| 1 Случайная величина на конечном вероятностном пространстве и ее среднее значение | 103 |
| 2 Свойства математического ожидания | 105 |
| 3 Закон распределения вероятностей и числовые характеристики случайной величины | 106 |
| 4 Свойства дисперсии | 111 |
| 5 Независимые случайные величины | 115 |
| 6 Неотрицательная целочисленная случайная величина и ее производящая функция | 119 |
| 7 Заключительное замечание | 122 |
| § 9. Примеры распределений вероятностей на конечном множестве | 123 |
| 1 Равномерное распределение на конечном множестве | 123 |
| 2 Распределение Бернулли | 125 |
| 3 Биномиальное распределение | 128 |
| § 10. Теорема Вернули | 133 |
| 1 Формулировка теоремы Бернулли | 133 |
| 2 Неравенства Чебышева | 133 |
| 3 Доказательство теоремы Бернулли | 135 |
| § 11. Случайные величины со счетным множеством возможных значений | 136 |
| 1 Случайная величина на счетном вероятностном пространстве | 136 |
| 2 Геометрическое распределение вероятностей | 141 |
| 3 Формула полного математического ожидания | 144 |
| 4 Об одном удивительном свойстве геометрического распределения вероятностей | 147 |
| 5 Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения вероятностей | 148 |
| 6 Распределение Пуассона | 151 |
| § 12. Задачи на повторение | 155 |
| Глава III. Непрерывные случайные величины | 158 |
| § 13. Нормальная аппроксимация биномиального распределения вероятностей | 158 |
| 1 Понятие непрерывного распределения вероятностей | 158 |
| 2 Интегральная теорема Myавра-Лапласа | 158 |
| 3 Примеры использования интегральной теоремы Муавра-Лапласа | 163 |
| 4 Возвращение к теореме Бернулли | 165 |
| § 14. Абсолютно непрерывные распределения вероятностей | 168 |
| 1 Абсолютно непрерывные распределения вероятностей и их плотности вероятности | 168 |
| 2 Общие соображения, связанные с переходом от дискретного к абсолютно непрерывному распределению вероятностей | 170 |
| 3 Линейная функция от непрерывной случайной величины | 172 |
| § 15. Примеры непрерывных распределений вероятностей | 176 |
| 1 Равномерное распределение в интервале (а, 6) | 176 |
| 2 Экспоненциальное (показательное) распределение | 183 |
| 3 Стандартное нормальное распределение | 186 |
| 4 Нормальное распределение вероятностей | 187 |
| 5 Распределение Коши | 194 |
| § 16. Смешанные задачи на случайные величины | 195 |
| § 17. Моделирование случайных величин | 200 |
| 1 Основная задача | 200 |
| 2 Об одном свойстве равномерного распределения вероятностей | 200 |
| 3 Основной результат | 201 |
| Глава IV. Предельные теоремы теории вероятностей и их применение в математической статистике | 204 |
| § 18. Закон больших чисел | 204 |
| 1 Сходимость по вероятности | 204 |
| 2 Теорема Хинчина | 205 |
| 3 В чем состоит закон больших чисел | 206 |
| 4 Закон больших чисел в форме Чебышева | 207 |
| § 19. Центральная предельная теорема | 208 |
| 1 Сходимость по распределению | 208 |
| 2 В чем заключается центральная предельная теорема | 209 |
| 3 К вопросу о моделировании нормального распределения вероятностей | 213 |
| § 20. Вычисление интегралов методом статистических испытаний | 214 |
| 1 Основная идея | 214 |
| 2 Применение центральной предельной теоремы | 215 |
| § 21. Начальные понятия математической статистики | 217 |
| 1 Примеры простейших статистических задач | 217 |
| 2 Выборка; эмпирическая функция распределения | 217 |
| 3 Гистограмма и полигон частот | 220 |
| § 22. Оценки неизвестных параметров | 221 |
| 1 Выборочное среднее и выборочная дисперсия | 221 |
| 2 Выборочное среднее как несмещенная оценка математического ожидания | 221 |
| 3 Несмещенное оценивание дисперсии | 223 |
| 4 Состоятельные оценки | 225 |
| Приложения | 227 |
| 1. Таблица распределения Пуассона | 227 |
| 2. Таблица значений функции Лапласа | 228 |
| Ответы и указания | 229 |
| Предметный указатель | 234 |
